Question

設(shè)x=3是函數(shù)f(x)=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)，
（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f(ξ₁)-f(ξ₂)|＜1成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵，
∴
，
由題意得：，
即，b=-2a-3，
∴且，
令得，
∵x=3是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴，即a≠-4，
故a與b的關(guān)系式為b=-2a-3（a≠-4），
當(dāng)a＜-4時(shí)，，由得單增區(qū)間為：（3，-a-1）；
由得單減區(qū)間為：（-∞，3）和（-a-1，+∞）；
當(dāng)a＞-4時(shí)，，由得單增區(qū)間為：（-a-1，3）；
由得單減區(qū)間為：（-∞，-a-1）和（3，+∞）；
（2）由（1）知：當(dāng)a＞0時(shí)，，f(x)在[0，3]上單調(diào)遞增，在[3，4]上單調(diào)遞減，
，，
∴f(x)在[0，4]上的值域?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110922/201109221406476401072.gif">；
易知在[0，4]上是增函數(shù)，
∴g(x)在[0，4]上的值域?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110922/201109221406476711312.gif">，
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必須且只須，解得：；
所以，a的取值范圍為。