Question

（本小題滿分12分）如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4,AA₁，
點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE⊥A₁E
.
（1）證明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁;
（2）求直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值。

Answer 1

（1）平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁。
(2)正弦值為。

（1）證明：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知AA₁⊥平面ABC。
又DE平面ABC，所以DE⊥AA₁。
而DE⊥A₁E，AA₁ A₁E= A₁，所以DE⊥平面ACC₁A₁。
又DE平面A₁DE，故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁。
(2)解：過點(diǎn)A作AF⊥A₁E=F，連結(jié)DF。
由（1）知，平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁，所以AF⊥平面A₁DE。
故∠ADF即直線AD和平面A₁DE所成的角。
因?yàn)镈E⊥ACC₁A₁，所以DE⊥AC。
而ΔABC是邊長為4的正三角形，于是
。
又因?yàn)锳A₁=，
所以A₁E=，，，即直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值為。