Question

若函數(shù)y=f（x）=sinx+cosx+2，x∈[0，2π），且關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個不等實數(shù)根α，β，則sin（α+β）=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   無法確定

Answer 1

B
分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為y=2sin（x+ ）+2，由題意可得 2sin（x+ ）+2=m有兩個不等實數(shù)根α，β．且這兩個實數(shù)根關(guān)于直線x+=或直線 x+=對稱，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．
解答：函數(shù)y=f（x）=sinx+cosx+2=2（+ ）+2=2sin（x+ ）+2．
再由x∈[0，2π）可得 ≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+ ）≤1，故0≤f（x）≤4．
由題意可得 2sin（x+ ）+2=m有兩個不等實數(shù)根α，β，
且這兩個實數(shù)根關(guān)于直線x+=或直線 x+=對稱，
故有 =，或 =，故 α+β= 或 α+β=，
故 sin（α+β）=，
故選B．
點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的對稱性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．