Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列；
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）令b_n=a_n+2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，求出a₁與q的關(guān)系，再代入a_n化簡(jiǎn)；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出b_n，利用分組求和法，等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
因?yàn)閍₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，所以a22=a1•a4，
則(a1+d)2=a1•(a1+3d)，化簡(jiǎn)得，a₁=d，
由a₁=1得，d=1，
所以a_n=1+（n-1）=n；  
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=a_n+2^a_n=n+2ⁿ，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=

n(n+1)

2

+2n+1-2
=

n2+n-4

2

+2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的求和方法：分組求和法，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?/div>