Question

已知集合A={（x，y）|x²+mx-y+2=0}和B={（x，y）|x-y+1=0，0≤x≤2}，A∩B≠∅，求實數(shù)m的
取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：本題的幾何背景是：拋物線y=x²+mx+2與線段y=x+1（0≤x≤2）有公共點，求實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：由
得x²+（m-1）x+1=0，①
∵A∩B≠∅，
∴方程①在區(qū)間[0，2]上至少有一個實數(shù)解，
首先，由△=（m-1）²-4≥0，
解得：m≥3或m≤-1．
設(shè)方程①的兩個根為x₁、x₂，
（1）當m≥3時，由x₁+x₂=-（m-1）＜0
及x₁•x₂=1＞0知x₁、x₂都是負數(shù)，不合題意；
（2）當m≤-1時，由x₁+x₂=-（m-1）＞0
及x₁•x₂=1＞0知x₁、x₂是互為倒數(shù)的兩個正數(shù)，
故x₁、x₂必有一個在區(qū)間[0，1]內(nèi)，
從而知方程①在區(qū)間[0，2]上至少有一個實數(shù)解．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1]．
點評：本題主要考查集合間的包含關(guān)系，解題過程中用到了根與系數(shù)的關(guān)系，較好．