已知向量a,b是平面α內的一組基底,向量c=a+2b,對于平面α內異于a,b的不共線向量m,n,現給出下列命題:
①當m,n分別與a,b對應共線時,滿足c=m+2n的向量m,n有無數組;
②當m,n與a,b均不共線時,滿足c=m+2n的向量m,n有無數組;
③當m,n分別與a,b對應共線時,滿足c=m+2n的向量m,n不存在;
④當m與a共線,但向量n與向量b不共線時,滿足c=m+2n的向量m,n有無數組.
其中真命題的序號是________.(填上所有真命題的序號)
②③④
分析:根據題意,分析命題:利用平面向量的基本定理,同一個向量在兩個方向上的分解是唯一的,判斷出①③的對錯;對于③④,由于基底的方向可以是任意的,所以對同一個向量分解唯一時,對應的基底可無數個,綜合可得答案.
解答:對應①,由平面向量基本定理,向量分解是唯一的;所以只有
滿足
,不在存在
故①錯;
對于②,由于
方向任意,所以滿足
的向量
有無數組,故②對;
對于③由①的判斷過程得到③對;
對于④,由于
向量的任意性,故可構成不同的基底;所以滿足
的向量
有無數組,故④對
故答案為:②③④
點評:本題考查當基底的方向確定,則對于一個向量的分解是唯一的;當基底方向不確定,對于一個向量的分解系數確定,則基底無數個.