Question

已知三個(gè)函數(shù)：①y=2cosx；②y=1-x³；③y=2^x+1．其中滿(mǎn)足性質(zhì)：“對(duì)于任意x₁，x₂∈R，若x1＜x0＜x2， α=

x1+x0

2

， β=

x0+x2

2

，則有|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|成立”的函數(shù)是

 

．（寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)題意判斷出x₁＜α＜β＜x₂，再根據(jù)三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性判斷出對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，進(jìn)一步變形判斷等式是否成立．

解答：解：∵x1＜x0＜x2， α=

x1+x0

2

， β=

x0+x2

2

，
∴x₁＜α＜β＜x₂，
∵函數(shù)y=1-x³在定義域上是減函數(shù)，∴有f（x₁）＞f（α）＞f（β）＞f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）＞f（α）-f（β），即|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|成立；
∵函數(shù)y=2^x+1在定義域上是增函數(shù)，∴f（x₁）＜f（α）＜f（β）＜f（x₂），
∴f（x₂）-f（x₁）＞f（β）-f（α），即|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|成立；
由∵函數(shù)y=2cosx在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，∴|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|不成立．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，即根據(jù)單調(diào)性判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，這是常用的一種方法．