Question

（2013•南通三模）過點(diǎn)P（-1，0）作曲線C：y=e^x的切線，切點(diǎn)為T₁，設(shè)T₁在x軸上的投影是點(diǎn)H₁，過點(diǎn)H₁再作曲線C的切線，切點(diǎn)為T₂，設(shè)T₂在x軸上的投影是點(diǎn)H₂，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）個(gè)切點(diǎn)T_n+1．則點(diǎn)T_n+1的坐標(biāo)為

（n，eⁿ）

．

Answer 1

分析：設(shè)T₁（x₁，ex1），可得切線方程代入點(diǎn)P坐標(biāo)，可解得x₁=0，即T₁（0，1），可得H₁（0，0），在寫切線方程代入點(diǎn)H₁（0，0），可得T₂（1，e），H₂（1，0），…
由此可得推得規(guī)律，從而可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)T₁（x₁，ex1），此處的導(dǎo)數(shù)值為ex1，
故切線方程為y-ex1=ex1（x-x₁），代入點(diǎn)P（-1，0）
可得0-ex1=ex1（-1-x₁），解得x₁=0，即T₁（0，1），H₁（0，0），
同理可得過點(diǎn)H₁再作曲線C的切線方程為y-ex2=ex2（x-x₂），代入點(diǎn)H₁（0，0），
可得0-ex2=ex2（0-x₂），可解得x₂=1，故T₂（1，e），H₂（1，0），
…
依次下去，可得T_n+1的坐標(biāo)為（n，eⁿ）
故答案為：（n，eⁿ）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線的方程，歸納推理是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．