Question

3．求所有的實(shí)數(shù)c，使得方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0的兩個(gè)實(shí)根可以和c一起構(gòu)成一個(gè)三元等差數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由一元二次方程的性質(zhì)分析可得c≤$\frac{25}{16}$①，設(shè)方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0的兩個(gè)實(shí)根為m、n，則有m+n=-$\frac{5}{2}$，mn=c，進(jìn)而由等差數(shù)列的性質(zhì)分3種情況討論：①若m+n=2c，②、若m+c=2n或③n+c=2m，分別求出c的值，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0有兩個(gè)實(shí)根，必有（$\frac{5}{2}$）²≥4c，即c≤$\frac{25}{16}$，（*）
設(shè)方程x²+$\frac{5}{2}$x+c=0的兩個(gè)實(shí)根為m、n，則有m+n=-$\frac{5}{2}$，mn=c，
若m、n、c組成一個(gè)三元等差數(shù)列，分3種情況討論：
①、若c為等差中項(xiàng)，則m+n=2c，則c=-$\frac{5}{4}$，滿足（*）式，符合題意；
②、若m為等差中項(xiàng)，則n+c=2m，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{5}{2}}\\{mn=c}\\{n+c=2m}\end{array}\right.$，解可得c=1或-$\frac{25}{2}$，滿足（*）式，符合題意；
③、若n為等差中項(xiàng)，則m+c=2n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{5}{2}}\\{mn=c}\\{m+c=2n}\end{array}\right.$，解可得c=1或-$\frac{25}{2}$，滿足（*）式，符合題意；
故c=-$\frac{5}{4}$或1或-$\frac{25}{2}$，．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)，