Question

（2009•黃岡模擬）四個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、2，把它們放在一個(gè)盒子里，從中任意摸出兩個(gè)小球，它們所標(biāo)有的數(shù)字分別為x，y，記ξ=x+y．
（1）求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)“函數(shù)f（x）=x²-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）隨機(jī)變量ξ的可能取值為2，3，4，從盒子中摸出兩個(gè)小球的基本事件總數(shù)為C₄²=6，然后根據(jù)等可能事件的概率求出相應(yīng)的概率，得到分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)可求出ξ的取值，從而求出事件A發(fā)生的概率．

解答：解：（1）由題意，隨機(jī)變量ξ的可能取值為2，3，4；
從盒子中摸出兩個(gè)小球的基本事件總數(shù)為C₄²=6，
當(dāng)ξ=2時(shí)，摸出的小球所標(biāo)的數(shù)字為1，1；
∴P（ξ=2）=

1

6

．
當(dāng)ξ=4時(shí)，摸出的小球所標(biāo)的數(shù)字為2，2；
∴P（ξ=4）=

1

6

．
∴可知當(dāng)ξ=3時(shí)，P（ξ=3）=1-

1

6

-

1

6

=

2

3

∴ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	1 6	2 3	1 6

故Eξ=2×

1

6

+3×

2

3

+4×

1

6

=3
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
∴f（2）f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0
∴

3

2

＜ξ＜

8

3

且ξ的所求可能取值為2，3，4
∴ξ=2
∴P（A）=P（ξ=2）=

1

6

．
∴事件A發(fā)生的概率為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)，以及離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．