已知幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(Ⅰ)求此幾何體的體積;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值;
(Ⅲ)探究在上是否存在點Q,使得,并說明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 在上存在點Q,使得.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由該幾何體的三視圖可知垂直于底面,且,
,
,,
此幾何體的體積為;
解法一:(Ⅱ)過點作交于,連接,則或其補角即為異面直線
與所成角,在中,,,
;即異面直線與所成角的余弦值為.
(Ⅲ)在上存在點Q,使得;取中點,過點作于點,則點為所求點;
連接、,在和中,
,∽,
,
,,,
,,
,
以為圓心,為直徑的圓與相切,切點為,連接、,可得;
,,,,
,;
解法二:(Ⅰ)同上。
(Ⅱ)以為原點,以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,得,,
,又異面直線與所成角為銳角,可得異面直線與
所成角的余弦值為。
(Ⅲ)設(shè)存在滿足題設(shè)的點,其坐標(biāo)為,
則,,,
, ①;
點在上,存在使得,
即,化簡得, ②,
②代入①得,得,;
滿足題設(shè)的點存在,其坐標(biāo)為.
考點:由三視圖求面積、體積.
點評:本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系,幾何體的體積的求法,判斷三視圖復(fù)原的幾何體的
形狀是解題的關(guān)鍵,考查計算能力.
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