Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{9}^{x}-4•{3}^{x}+3+a}{{3}^{x}-1}$，x∈（0，1]，其中a為常數(shù)．
（1）若y=f（x）是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）利用指數(shù)函冪的運(yùn)算法則，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用分式函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)y=t+$\frac{a}{t}$的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的最大值或最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{9}^{x}-4•{3}^{x}+3+a}{{3}^{x}-1}$=$\frac{（{3}^{x}）^{2}-4•{3}^{x}+3+a}{{3}^{x}-1}$
=$\frac{（{3}^{x}-1）^{2}-2•（{3}^{x}-1）+1+a}{{3}^{x}-1}$=（3^x-1）+$\frac{1+a}{{3}^{x}-1}$-2，
設(shè)t=3^x-1，則函數(shù)t=3^x-1為增函數(shù)，
∵x∈（0，1]，∴t∈（0，2]，
則函數(shù)等價為y=t+$\frac{1+a}{t}$-2，
若y=f（x）是減函數(shù)，
則等價為y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在t∈（0，2]上是減函數(shù)，
則1+a＞0，且$\sqrt{1+a}$≥2，即a+1≥4，即a≥3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）；
（2）∵函數(shù)f（x）等價y=t+$\frac{1+a}{t}$-2，t∈（0，2]，
若1+a≤0，即a≤-1，則函數(shù)y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在（0，2]上為增函數(shù)，
此時函數(shù)的最大值為y=2+$\frac{1+a}{2}$-2=$\frac{1+a}{2}$，此時無最小值．
若1+a＞0，即a＞-1，此時函數(shù)y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在（0，$\sqrt{1+a}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{1+a}$，+∞）上為增函數(shù)，
若$\sqrt{1+a}$＞2，即a＞3時，函數(shù)在（0，2]是減函數(shù)，
則當(dāng)x=2時，函數(shù)取得最小值y=2+$\frac{1+a}{2}$-2=$\frac{1+a}{2}$，此時無最大值．
若$\sqrt{1+a}$≤2，即-1＜a≤3時，函數(shù)y=t+$\frac{1+a}{t}$-2在（0，$\sqrt{1+a}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{1+a}$，2]上為增函數(shù)，
此時當(dāng)x=$\sqrt{1+a}$時，函數(shù)取得最小值y=t+$\frac{1+a}{t}$-2$≥2\sqrt{t•\frac{1+a}{t}}$-2=2$\sqrt{1+a}$-2，此時無最大值．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用換元法，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．