已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)>a在x∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
分析:(1)根據(jù)函數(shù)類(lèi)型設(shè)出函數(shù)的解析式,然后根據(jù)f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,建立兩個(gè)等式關(guān)系,解之即可;
(2)要使f(x)>a在x∈[-1,1]恒成立,只需研究函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1,1]上的最小值即可,利用配方法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出f(x)的最小值.
解答:解:(1)設(shè)f(x)=ax
2+bx+c∵f(0)=0∴c=0
∴f(x)=ax
2+bxf(x)+x+1=ax
2+(b+1)x+1f(x+1)
=a(x+1)
2+b(x+1)=ax
2+(2a+b)x+a+b∵f(x+1)
=f(x)+x+1∴ax
2+(2a+b)x+a+b=ax
2+(b+1)x+1
∴
?∴
f(x)=x2+x(2)f(x)>a在x∈[-1,1]恒成立
∴
x2+x>a在x∈[-1,1]恒成立
∴
a<(x+)2+(-)在x∈[-1,1]恒成立.
[(x+)2-]min=-(-1≤x≤1)∴
a<- 點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)解析式的求解及待定系數(shù)法,以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.