Question

已知函數(shù)，點(diǎn)．

（1）若，函數(shù)在上既能取到極大值，又能取到極小值，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍；

（3）若，函數(shù)在和處取得極值，且，是坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線(xiàn)與直線(xiàn)不可能垂直.

 

Answer 1

（1）；（2）：（3）祥見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)條件寫(xiě)出函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，即在x=2處取得極小值．函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，寫(xiě)出關(guān)于t的不等式，解出結(jié)果．

（II）寫(xiě)出要用的函數(shù)式，根據(jù)條件中的恒成立問(wèn)題，得到x2-bx+1≥0對(duì)任意的恒成立，看出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值之間的關(guān)系寫(xiě)出結(jié)果．

（3）否定結(jié)論的證明,可考慮用反證法:假設(shè)假設(shè)，結(jié)合已知條件得出,與已知矛盾即可.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

令得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以得出函數(shù)在處取得極大值，

在處取得極小值．函數(shù)在上既能取到極大值，又能取到極小值，

則只要且即可，即只要即可．

所以的取值范圍是． 3分

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

即對(duì)任意的恒成立，

也即在對(duì)任意的恒成立．

令，則． 4分

記，則，

則這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)，

故也是最小值點(diǎn)，所以，

從而，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．

函數(shù)．故只要即可．

所以的取值范圍是 6分

（3）假設(shè)，即，

即，

故，

即．

由于是方程的兩個(gè)根，

故．代入上式得． 8分

，

即，與矛盾，

所以直線(xiàn)與直線(xiàn)不可能垂直． 10分

考點(diǎn)：1．函數(shù)的極值;2. 函數(shù)的恒成立;3.反證法．