Question

f（x）是定義在（-∞，-5]∪[5，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）在[5，+∞）上單調(diào)遞減，試判斷f（x）在（-∞，-5]上的單調(diào)性，并用定義給予證明．

Answer 1

【答案】分析：由奇函數(shù)的性質(zhì)，在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，知f（x）在（-∞，-5]上是減函數(shù)，再用定義法證明，定義法證明單調(diào)性的步驟：任取區(qū)間上兩個自變量，作差，整理成幾個因子的成績，判斷差的符號，得出結論，證明本題時沿用此五步書寫證明步驟．
解答：解：奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，
f（x）在[5，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）在（-∞，-5]上是減函數(shù)，
證明如下：
任取x₁＜x₂≤-5，則-x₁＞-x₂≥5．
因f（x）在[5，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f（-x₁）＜f（-x₂）
又函數(shù)是奇函數(shù)，故有-f（x₁）＜-f（x₂即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，-5]上單調(diào)減函數(shù)．
點評：本題考點奇偶性與單調(diào)性的綜合，作為一個判斷證明題，求解題時要注意做題的格式，先判斷，再證明．本題中用定義法證明過程中獲知f（x₁）＞f（x₂）的方法是由函數(shù)的性質(zhì)變形得到的，此是本題用定義法證明時與一般題過程中稍有不同的地方，請從抽象函數(shù)的角度考慮一下不同的原因．