Question

（2012•江門一模）某學校每星期一供應1000名學生A、B兩種菜．調查表明，凡在這星期一選A種菜的，下星期一會有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會有30%改選A種菜．設第n個星期一選A、B兩種菜分別有a_n、b_n名學生．
（1）若a₁=500，求a₂、a₃；
（2）求a_n，并說明隨著時間推移，選A種菜的學生將穩(wěn)定在600名附近．

Answer 1

分析：（1）根據“凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有20%改選B；而選B菜的，下星期一則有30%改選A”直接建立等式關系；
（2）根據題意可得a_n=a_n-1×（1-20%）+b_n-1×30%，可轉換成{a_n-600}是以a₁-600為首項，

1

2

為公比的等比數列，可求出a_n，根據數列的解析式可求推出選A種菜的學生將穩(wěn)定在600名附近．

解答：解：（1）a₂=500×（1-20%）+（1000-500）×30%=550…（2分），
a₃=550×（1-20%）+（1000-550）×30%=575…（4分）．
（2）?n∈N+，n＞1，a_n=a_n-1×（1-20%）+b_n-1×30%…（5分）；
=a_n-1×（1-20%）+（1000-a_n-1）×30%…（7分）
所以a_n-600=

1

2

（a_n-1-600）…（9分），
{a_n-600}是以a₁-600為首項，

1

2

為公比的等比數列…（10分），
∴a_n-600=（a₁-600）×

1

2n-1

…（11分），
即a_n=600+（a₁-600）×

1

2n-1

…（12分），
隨著時間推移，即n越來越大時，

1

2n-1

趨于0…（13分），
所以（a₁-600）×

1

2n-1

趨于0，a_n趨于600并穩(wěn)定在600附近…（14分）．

點評：本題主要考查了數列知識在生產實際中的應用，解題時要認真審題，理清題設中的數量關系，合理地運用數列知識進行求解，屬于中檔題．