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若函數f(x)在定義域D內某區(qū)間I上是增函數,而F(x)=
f(x)
x
在I上是減函數,則稱y=f(x)在I上是“弱增函數”
(1)請分別判斷f(x)=x+4,g(x)=x2+4x+2在x∈(1,2)是否是“弱增函數”,并簡要說明理由.
(2)若函數h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
(θ、b是常數)在(0,1]上是“弱增函數”,請求出θ及正數b應滿足的條件.
分析:(1)依據“弱增函數”的定義逐個判斷即可;
(2)由于h(x)在(0,1]上是“弱增函數”,所以h(x)在(0,1]上單調遞增,
h(x)
x
在(0,1]上單調遞減,由此可求出θ及正數b滿足的條件.
解答:解:(1)由于f(x)=x+4在(1,2)上是增函數,且F(x)=
f(x)
x
=1+
4
x
在(1,2)上是減函數,
所以f(x)=x+4在(1,2)上是“弱增函數”;
g(x)=x2+4x+2在(1,2)上是增函數,但
g(x)
x
=x+4
+
2
x
在(1,2)上不單調,所以g(x)=x2+4x+2在(1,2)上不是“弱增函數”.
(2)因為h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
(θ、b是常數)在(0,1]上是“弱增函數”
所以h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
在(0,1]上是增函數,且F(x)=
h(x)
x
=x+
b
x
+(sinθ-
1
2
)
在(0,1]上是減函數,
h(x)=x2+(sinθ-
1
2
)x+b
在(0,1]上是增函數,得h′(x)≥0即2x+(sinθ-
1
2
)≥0在(0,1]上恒成立,
所以
-(sinθ-
1
2
)
2
≤0
,得sinθ
1
2
,解得θ∈[2kπ+
π
6
,2kπ+
6
],k∈Z.
由F(x)=
h(x)
x
在(0,1]上是減函數,得F′(x)≤0在(0,1]上恒成立,即1-
b
x2
≤0,b≥x2在(0,1]上恒成立,
所以b≥1.
綜上所述,b≥1且θ∈[2kπ+
π
6
,2kπ+
6
]    k∈Z
時,h(x)在(0,1]上是“弱增函數”.
點評:本題以新定義的形式考查函數的單調性,考查運用所學知識分析解決新問題的能力.
練習冊系列答案
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①f(x)=sinx+cosx,②f(x)=lnx-2x,③f(x)=-x4+x3-x2+1,④f(x)=-xe-x
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π2
)
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①②③
(請把所有正確的序號均填上)

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