Question

已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四點(diǎn)，試證明|AC|•|BD|為定值；
（III）過(guò)A、B分別作拋物G的切線l₁，l₂且l₁，l₂交于點(diǎn)M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）第一小題較為簡(jiǎn)單，因?yàn)閽佄锞�是標(biāo)準(zhǔn)方程，只須求參數(shù)P；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)；
（3）欲求面積之和的最小值，利用直線AB的斜率作為自變量，建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（1）由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y+1=0，

p

2

=1
所以?huà)佄锞�C的方程為x²=4y．

（2）設(shè)直線AB方y(tǒng)=kx+1交拋物線C于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由拋物線定義知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
所以|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由

x2=4y y=kx+1

得x²-4kx-4=0，
顯然△＞0，則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
所以y₁•y₂=

x 2 1 • x 2 2

16

=1，所以|AC|•|BD|為定值1．

（3）解：由x²=4y，y=

1

4

x²，y=

1

2

x，
得直線AM方程y-

1

4

x

2 1

=

1

2

x₁（x-x₁）（1），
直線BM方程y-

1

4

x

2 2

=

1

2

x₂（x-x₂）（2），
由（2）-（1）得

1

2

（x₁-x₂）x=

1

4

x

2 1

-

1

4

x

2 2

，
所以x=

1

2

（x₁+x₂）=2k，∴y=-1
所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（2k，-1），
點(diǎn)M到直線AB距離d=

|k•2k+1+1|

1+k2

=2

1+k2

，
弦AB長(zhǎng)為|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

16k2+16

=4（1+k²），
△ACM與△BDM面積之和，
S=

1

2

（|AB|-2）•d=

1

2

×（2+4k²）×2

1+k2

=2（1+2k²）

1+k2

，
當(dāng)k=0時(shí)，即AB方程為y=1時(shí)，△ACM與△BDM面積之和最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：新課標(biāo)下的圓錐曲線題一般是壓軸題，主要考查橢圓或拋物線的有關(guān)知識(shí)，本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、探究能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，背景新穎，綜合要求高．?dāng)?shù)學(xué)中的最值與定值問(wèn)題，歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)．求解定值與最值的基本策略有二：一是從幾何角度考慮，當(dāng)題目中的條件和結(jié)論明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)，可用圖形性質(zhì)來(lái)解；二是從代數(shù)角度考慮，當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值．