如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6與x軸交于AB兩點(diǎn)與y軸交點(diǎn)C，已知A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求拋物線(xiàn)及直線(xiàn)BC的解析式；
（2）若P為拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)BC上方的一點(diǎn)，求△PBC面積S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D，M為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，若以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由于拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，可得-1，3是一元二次方程ax2+bx+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a，b，可得拋物線(xiàn)的解析式，令x=0，即可得出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的拋物線(xiàn)的與直線(xiàn)BC平行的切線(xiàn)方程為2x+y+m=0．與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立可得2x2-6x-6-m=0，令△=0，解得m，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離h．又|BC|=
32+62
=3
5
．可得△PBC面積S的最大值=
1
2
×|BC|×h．
（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=1，代入直線(xiàn)BC的方程可得y=4，可得D（1，4）．設(shè)N（n，0），M（x，-2x2+4x+6），則
AD
=（2，4），
MN
=（n-x，2x2-4x-6）．
∵以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可得
AD
=
MN
，利用向量相等即可得出．
解答： 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴-1，3是一元二次方程ax2+bx+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴
-1+3=-
b
a
-1×3=
6
a
，解得a=-2，b=4．
∴拋物線(xiàn)的方程為y=-2x2+4x+6，
令x=0，可得yC=6．
∴C（0，6），
∴直線(xiàn)BC的方程為
x
3
+
y
6
=1，化為 2x+y-6=0．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的拋物線(xiàn)的與直線(xiàn)BC平行的切線(xiàn)方程為2x+y+m=0．
聯(lián)立
2x+y+m=0
y=-2x2+4x+6
，化為2x2-6x-6-m=0，
令△=36-8（-6-m）=0，解得m=-
21
2
．
代入上述方程可得2x2-6x-6+
21
2
=0，
化為（2x-3）2=0，解得x=
3
2
，
∴y=-2×
3
2
-(-
21
2
)=
15
2
．
∴P(
3
2
，
15
2
)．
點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離h=
|2×
3
2
+
15
2
-6|
22+1
=
9
5
10
．
又|BC|=
32+62
=3
5
．
∴△PBC面積S的最大值=
1
2
×|BC|×h=
1
2
×3
5
×
9
5
10
=
27
4
．
（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=1，代入直線(xiàn)BC的方程可得y=4，∴D（1，4）．
設(shè)N（n，0），M（x，-2x2+4x+6），
則
AD
=（2，4），
MN
=（n-x，2x2-4x-6）．
∵以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴
AD
=
MN
，
∴
2=n-x
4=2x2-4x-6
，解得
x=1+
6
n=3+
6
或
x=1-
6
n=3-
6
．
∴M(1+
6
，-4)或(1-
6
，-4)．
點(diǎn)評(píng)：本題了考查了拋物線(xiàn)的方程及其性質(zhì)、拋物線(xiàn)的切線(xiàn)、三角形的面積最大值、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、平行四邊形的性質(zhì)、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，存在兩項(xiàng)am，an使得
am•an
=4a1，且a6=a5+2a4，則
1
m
+
4
n
最小值
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題“面積相等的三角形是全等三角形”，該命題的否定是
 
，該命題的否命題是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
20
+
y2
16
=1，點(diǎn)A是橢圓與y軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M滿(mǎn)足：
AF
=2
FM
，
OM
=
1
2
(
OB
+
OC
)．
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②求直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m，若
AB
•
AC
=0，D在BC上，且
AD
•
BC
=0．
①求證：直線(xiàn)l恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；②求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓
x2
9
+
y2
4
=1中，被點(diǎn)P（2，1）平分的弦所在直線(xiàn)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x1，x2為實(shí)系數(shù)2x2-6x+m=0的兩個(gè)虛根，且|x1-x2|=
3
．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）計(jì)算
lim
n→∞
|x1|2n+|x2|2n
|x1-x2|n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一次登島、奪島軍事演習(xí)中，紅軍2000官兵乘軍艦登島，藍(lán)軍在登島海域布置魚(yú)雷反登島，每搜軍艦在登島過(guò)程中被藍(lán)軍魚(yú)雷擊沉的概率為p（0＜p＜1），紅軍現(xiàn)有五艘軍艦，每艘軍艦最大乘員500人，躲過(guò)魚(yú)雷襲擊就能成功登島，登島官兵至少需要1500人，才能擊敗奪島藍(lán)軍，成功奪島，紅軍可選用兩種方案運(yùn)載官兵：
方案甲：使用4艘軍艦．
方案乙：使用5艘軍艦，每艘乘員400人．
（1）如果以登島人數(shù)論成敗，紅軍應(yīng)選擇哪種方案？
（2）如果以?shī)Z島論成敗，紅軍應(yīng)選擇哪種方案？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，下表給出了振子在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中的時(shí)間t與位移s之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出這個(gè)振子的振動(dòng)函數(shù)解析式．
t0t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0
s-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中正確的是（　�。�
A、有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐
B、有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C、有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐
D、有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

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