Question

二次函數f（x）滿足f（0）=f（1）=0，且最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設常數t∈( 0 ， 

1

2

 )，求直線：y=t²-t與f（x）的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S（t）；
（3）已知m≥0，n≥0，求證：

1

2

( m+n )2+

1

4

( m+n )≥m

n

+n

m

．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件選擇待定系數法確定函數解析式是解決本題的關鍵，充分借助二次函數的對稱性解決該問題可以事半功倍；
（2）利用定積分表示出所求的圖形面積是解決本題的關鍵，得出關于t的函數關系即是S（t）；
（3）利用均值不等式進行放縮是證明該不等式的關鍵，根據已知的函數可以得出關于m，n的不等式．

解答：解：（1）由二次函數圖象的對稱性，可設f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1，
故f（x）=x²-x．
（2）據題意，直線l與f（x）的圖象的交點坐標為（t，t²-t），由定積分的幾何意義知，
g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t）=-

∫

t 0

[（t²-t）-（x²-x）]dx-

∫

1 2 t

[（x²-x）-（t²-t）]dx
=

∫

t 0

[（x²-x）-（t²-t）]dx+

∫

1 2 t

[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[（

x3

3

-

x2

2

）-（t²-t）x]

|

t 0

+[（t²-t）x-（

x3

3

-

x2

2

）]

|

1 2 t

=-

4

3

t³+

3

2

t²-

1

2

t+

1

12

．
（3）∵f（x）的最小值為-

1

4

，
∴m-

m

≥-

1

4

 ①
n-

n

≥-

1

4

 ②
①+②得：m+n+

1

2

≥

m

+

n

③
又

1

2

（m+n）²+

1

4

 （m+n）=

1

2

（m+n）（m+n+

1

2

）
由均值不等式和③知：

1

2

（m+n）≥

mn

；m+n+

1

2

≥

m

+

n

，
故

1

2

（m+n）²+

1

4

 （m+n）=

1

2

（m+n）（m+n+

1

2

）≥

mn

（

m

+

n

）=m

n

+n

m

．

點評：本題考查函數解析式的求解，考查二次函數的對稱性．考查定積分求解曲邊圖形面積的思想和方法，導數求函數最值的工具作用．考查函數思想解決證明不等式問題、用到了均值定理進行放縮．