Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+y²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直線l過點(diǎn)A（4，-1），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l的方程；
（2）是否存在一個(gè)定點(diǎn)P，使過P點(diǎn)有無數(shù)條直線l與圓C₁和圓C₂都相交，且l被兩圓截得的弦長(zhǎng)相等，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）-1，再利用圓C₁的圓心到l的距離、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解即可；
（2）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，b），再利用圓心C₁和圓心C₂到l的距離相等，求出a，b的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）由于直線x=4與圓C₁不相交，所以直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）-1，圓C₁的圓心到l的距離為d，所以d=1．
由點(diǎn)到直線l的距離公式得d=

|7k+1|

1+k2

，從而k（24k+7）=0
所以k=0或k=-

7

24

，所以直線l的方程為y=-1或7x+24y-4=0．
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，b），l的方程為y-b=k（x-a），因?yàn)閳AC₁和圓C₂的半徑相等，被l截得的弦長(zhǎng)也相等，所以圓C₁和圓C₂的半徑相等，到l的距離相等，即

|-3k+b-ak|

1+k2

=

|4k-4+b-ak|

1+k2

，整理得：（14a-7）k2-（8a+14b-32）k+8b-16=0，因?yàn)閗的個(gè)數(shù)有無數(shù)多個(gè)，所以

14a-7=0 8a+14b-32=0 8b-16=0

解得

a= 1 2 b=2

綜上所述，存在滿足條件的定點(diǎn)P，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(

1

2

，2)．
注：用平面幾何知識(shí)可能更簡(jiǎn)單．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應(yīng)用、絕對(duì)值方程式的解法、到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．