Question

已知函數(shù)f（x）滿足f(x+1)=

1

f(x)

，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意知函數(shù)是一個偶函數(shù)且周期是2，寫出函數(shù)在[-1，0]，[2，3]，[-1，0）上的函數(shù)解析式，根據(jù)g（x）仍為一次函數(shù)，有4個零點，故在四段內(nèi)各有一個零點．分別在這四段上討論零點的情況，零點的范圍，最后求出幾種結(jié)果的交集．

解答：解：由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期為2的函數(shù)，
x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函數(shù)，x在[-1，0]，f（x）=-x
f（x）是周期為2的函數(shù) f（2）=f（0）=0 函數(shù)解析式：y=-x+2 x在[2，3]時，
函數(shù)解析式：y=x-2 g（x）仍為一次函數(shù)，有4個零點，
故在四段內(nèi)各有一個零點．
x在[-1，0），g（x）=-x-kx-k=-（k+1）x-k 令g（x）=0，∴x=-

k

k+1

∴-1≤-

k

k+1

＜0，解得k＞0
x在（0，1]，g（x）=x-kx-k=（1-k）x-k，令g（x）=0，∴x=

k

k+1

∴0＜

k

k+1

≤1 解的0＜k≤

1

2

x在（1，2]，g（x）=-x+2-kx-k=-（k+1）x+2-k，令g（x）=0，∴x=

2-k

k+1

∴1＜

2-k

k+1

≤2，解的0≤k＜

1

2

x在（2，3]，g（x）=x-2-kx-k=（1-k）x-2-k，令g（x）=0，∴x=

k+2

1-k

∴2＜

k+2

1-k

≤3，解的0＜k≤

1

4

綜上可知，k的取值范圍為：0＜k≤

1

4

故答案為：（0，

1

4

]．

點評：學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，所以本題符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展．