Question

數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，總有a_n、S_n、（a_n）²成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設，數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由等差數(shù)列等差中項性質(zhì)可知2S_n=a_n+a_n²把a_n=S_n-S_n-1代入得到a_n和a_n-1的關系式，整理得a_n-a_n-1=1進而可以推斷數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，再根據(jù)2S₁=a₁+a₁²求得a₁，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）把（I）數(shù)列{a_n}的通項公式代入可得數(shù)列{b_n}的通項公式．{b_n}的通項公式是由等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成，進而可用錯位相減法求得{b_n}的前n項和T_n=，進而推斷T_n＜2，又根據(jù)T_n+1-T_n=推斷{T_n}是遞增數(shù)列可知T₁是數(shù)列{T_n}最小項，綜合可得T_n范圍，原式得證．
解答：解：（I）由已知2S_n=a_n+a_n²∴，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1∴a_n=n．（n∈N^*）
（II）∵，由（I）知，

∴
∴==（n∈N^*）
∵，
∴{T_n}是遞增數(shù)列，∴
又∵，∴，∴得證．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和用錯位相減法數(shù)列求和的問題．屬基礎題．