Question

14．已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$\frac{1+ln（-x）}{x+m}$（m為常數(shù)）且f′（1）=0
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若對任意的x∈[1，+∞），不等式f（x）≥$\frac{n}{x+1}$恒成立．求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用函數(shù)的奇偶性求出當(dāng)x＞0時(shí)f（x）的解析式，根據(jù)f′（1）=0列方程解出m；
（II）分離參數(shù)得出n≤1+lnx+$\frac{1+lnx}{x}$，求出右側(cè)函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（I）當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
∴f（-x）=$\frac{1+lnx}{-x+m}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-f（-x）=$\frac{1+lnx}{x-m}$．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=-$\frac{\frac{m}{x}+lnx}{（m-x）^{2}}$，
∴f′（1）=$\frac{m}{（m-1）^{2}}$=0，∴m=0．
（II）由（I）得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$≥$\frac{n}{x+1}$恒成立，∴n≤1+lnx+$\frac{1+lnx}{x}$在[1，+∞）恒成立，
令g（x）=1+lnx+$\frac{1+lnx}{x}$．
則g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（1）=2．
∴n≤2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．