已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a>0).
(1)求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)及f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);
(2)假設(shè)對任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0成立,求實
數(shù)m的取值范圍.
【答案】
分析:(1)、設(shè)y=ln(e
x+a),a>0,把y看作常數(shù),解出x后把x,y互換就得到函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)f
-1(x).再由復(fù)合函數(shù)的求解法則解出f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x).
(2)、由|m-f
-1(x)|+ln(f'(x))<0得ln(e
x-a)-ln(e
x+a)+x<m<ln(e
x-a)+ln(e
x+a)-x.原不等式對于x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等價于ln(e
x-a)-ln(e
x+a)+x<ln(e
x-a)+ln(e
x+a)-x.再通過導(dǎo)數(shù)運算和函數(shù)的單調(diào)性求出實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)、設(shè)y=ln(e
x+a),a>0,則e
y=e
x+a,∴e
x=e
y-a,a>0,∴x=ln(e
y-a),x,y互換得到函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)f
-1(x)=ln(e
x-a),x∈R;f′(x)=
.
(2)、由|m-f
-1(x)|+ln(f'(x))<0得ln(e
x-a)-ln(e
x+a)+x<m<ln(e
x-a)+ln(e
x+a)-x.
設(shè)ϕ(x)=ln(e
x-a)-ln(e
x+a)+x,ψ(x)=ln(e
x-a)+ln(e
x+a)-x,
于是原不等式對于x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等價于ϕ(x)<m<ψ(x).
由
,注意到0<e
x-a<e
x<e
x+a,故有ϕ'(x)>0,ψ'(x)>0,從而可ϕ(x)與ϕ(x)均在[ln(3a),ln(4a)]上單調(diào)遞增,因此不等式ϕ(x)<m<ψ(x)成立當(dāng)且僅當(dāng)ϕ(ln(4a))<m<ψ(ln(3a)).即
點評:本題是對數(shù)函數(shù)、反函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題,考查反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),具有一定的難度.在解題時要注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運用.