Question

已知直線（θ是非零常數(shù)）與圓x²+y²=100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）
A．60條
B．66條
C．72條
D．78條

Answer 1

【答案】分析：直線是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過原點(diǎn)，考查圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合排列組合知識(shí)分類解答．
解答：解：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓x²+y²=100上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為（6，±8），（-6，±8），（8，±6），（-8，±6），（±10，0），（0，±10），前8個(gè)點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成C₁₂²=66條直線，其中有4條直線垂直x軸，有4條直線垂直y軸，還有6條過原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對(duì)稱性），故滿足題設(shè)的直線有52條．綜上可知滿足題設(shè)的直線共有52+8=60條，
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的概念，以及組合的知識(shí)，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類考慮，要結(jié)合圓上點(diǎn)的對(duì)稱性來考慮過點(diǎn)的直線的特征．是較難問題．易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確理解題意，甚至混淆．對(duì)直線截距式方程認(rèn)識(shí)不明確，認(rèn)識(shí)不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對(duì)圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，胡亂選擇．