Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（2，-4），
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準線l方程；
（Ⅱ）若點B（1，2），直線l過點B且與拋物線C交于P、Q兩點，若點B為PQ中點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線C經(jīng)過的點，求出p得到拋物線方程，然后求其準線l方程；
（Ⅱ）設出經(jīng)過點B（1，2）的直線l的方程，設出交點坐標，利用平方差公式求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答： 解：（ I）由拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（2，-4），解得P=4．
拋物線C的方程為y²=8x，其準線l方程為x=-2；
（ II）顯然，直線l的斜率不存在或直線l的斜率為0均不符合題意，…（4分）
故可設直線l的方程為y-2=k（x-1），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可知：y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
y₁²-y₂²=8x₁-8x₂，∴k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=2．
所以，直線l的方程為2x-y=0． …（12分）

點評：本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關系的綜合應用，平方差法的應用，考查分析問題解決問題的能力．