(本小題滿分13分)已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相交于坐標原點,且兩條漸近線與以點為圓心,1為半徑的圓相切,又知雙曲線C的一個焦點與點A關于直線y=x對稱.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)若Q是雙曲線C上的任一點,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C的左、右焦點,從點F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點N的軌跡方程.
(3)設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點,另一直線L經(jīng)過點M(-2,0)和線段AB的中點,求直線L在y軸上的截距b的取值范圍
解:(1)設雙曲線C的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0
∵該直線與圓 相切,
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為 ……………………………………………2分
故設雙曲線C的方程為,又∵雙曲線C的一個焦點為
∴,∴雙曲線C的方程為 ……………………………4分
(2)若Q在雙曲線的右支上,則延長QF2到T,使|QT|=|QF1|
若Q在雙曲線的左支上,則在QF2上取一點T,使|QT|=|QF1|
根據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2,所以點T在以F2為圓心,2為半徑的圓上,即點T的軌跡方程是 ① ………………………………………6分
由于點N是線段F1T的中點,設N(x,y),T()
則
代入①并整理得點N的軌跡方程為 …………………8分
(3)由
令
直線與雙曲線左支交于兩點,等價于方程 上有兩個不等實根.
因此
又AB中點為
∴直線L的方程為 ……………………………………10分
令x=0,得
∵ ∴
∴故b的取值范圍是 …………………………………………13分
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆江西省高一第二次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值;
(2)在給出的直角坐標系中,畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
(3)設0<x<,且方程有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知集合, ,.
(1)求(∁; (2)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:河南省09-10學年高二下學期期末數(shù)學試題(理科) 題型:解答題
(本小題滿分13分)如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,為的中點。
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成的角。www.7caiedu.cn
[來源:KS5
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年福建省高三5月月考調(diào)理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項.
(1) 求函數(shù)的表達式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積
(3) 求數(shù)列的前項和
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