若平面α的法向量為數(shù)學(xué)公式，平面β的法向量為數(shù)學(xué)公式，則平面α與β夾角的余弦是


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    -數(shù)學(xué)公式
A
分析：根據(jù)向量與的坐標(biāo)，分別算出、的模和與的數(shù)量積，然后用向量的夾角公式算出它們夾角的余弦值，再根據(jù)兩個(gè)平面所成角與它們法向量夾角之間的關(guān)系，可得本題的夾角余弦之值．
解答：∵，，
∴||==，||==
•=3×2+2×0+1×（-1）=5
因此，向量與的夾角θ滿(mǎn)足cosθ===
又∵向量、分別為平面α和平面β的法向量
∴平面α與β夾角等于向量、的夾角，故平面α與β夾角的余弦值等于
故選：A
點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)平面法向量的坐標(biāo)形式，求兩個(gè)平面夾角的余弦之值，著重考查了利用數(shù)量積求兩向量的夾角和平面的法向量的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若平面α，β的法向量分別為（-1，2，4），（x，-1，-2），并且α⊥β，則x的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若平面α，β的法向量分別為
u
=(2，-3，4)，
v
=(-3，1，-4)，則（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若平面α、β的法向量分別為
m
=（1，-5，2），
n
=（-3，1，4），則（　�。�
A、α⊥β
B、α∥β
C、α、β相交但不垂直
D、以上均不正確

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問(wèn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012年湖南省衡陽(yáng)市高二第三次月考考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：選擇題

若平面α，β的法向量分別為u＝(－2, 3，－5)，v＝(3，－1, 4)，則(　　)

A．α∥β                        B．α⊥β

C．α、β相交但不垂直            D．以上均不正確

 

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