Question

12．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角是（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知條件結(jié)合向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{|}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再由數(shù)量積求夾角公式求得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

解答 解：∵$（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，
∴$（\overrightarrow-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow=|\overrightarrow{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
則$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{|}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$，
又＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞∈[0，π]，∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角是$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了斜向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是中檔題．