Question

定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項、公比均為．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

Answer 1

解：（1）依條件得：，
∴無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的首項為a₂=，公比為，
則無窮等比數(shù)列{a_3k-1}各項的和為：；
（2）設此子數(shù)列的首項為a₁，公比為q，由條件得：，
則，即 ，
∴
而 ，
則 ，
所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，
其通項公式為，n∈N^*；
（3）問題：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
解：假設存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1．設這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，則，
因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分數(shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)．
故等式不可能成立，即假設錯誤，
所以這樣的兩個子數(shù)列不存在．
分析：（1）由已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項與公比，得到無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的通項公式，得到無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}的首項與公比，即可求出無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}各項的和；
（2）存在，理由為：設出子數(shù)列的首項與公比，根據(jù)題意得到q的范圍為，進而求出1-q的范圍，得到的范圍，令各項的和等于，表示出首項a₁，根據(jù)1-q的范圍，求出a₁的范圍，而根據(jù)題意得a₁=（m為正整數(shù)），可得a₁及q的值，故滿足題意的無窮子數(shù)列存在且唯一，根據(jù)求出的a₁和q的值，寫出其通項公式即可；
（3）根據(jù)題意設計問題為：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．不存在，理由是：分別設出這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，分別表示出各項的和，根據(jù)乘積為1，得到關系式，化簡后，根據(jù)m，n，a，b為正整數(shù)，得到左邊可能為偶數(shù)或分數(shù)，而右邊只能為奇數(shù)，故等式不可能成立，則這樣的兩個子數(shù)列不存在．
點評：此題考查了等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式，以及無窮數(shù)列的各項和公式，同時本題屬于新定義及結論探索性問題，這類試題的一般解法是：充分抓住已知條件，找準問題的突破點，由淺入深，多角度、多側面探尋，聯(lián)系符合題設的有關知識，合理組合發(fā)現(xiàn)新結論，圍繞所探究的結論環(huán)環(huán)相扣，步步逼近發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結論．熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．