Question

設a，b，c是素數(shù)，記x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，當z²=y，

x

-

y

=2時，a，b，c能否構成三角形的三邊長？證明你的結論．

Answer 1

考點：素數(shù)與合數(shù)

專題：綜合題,推理和證明

分析：首先根據(jù)題意用含有x，y，z的代數(shù)式表示出a，b，c，再根據(jù)y=z²，得到a=

z(z+1)

2

，根據(jù)z為整數(shù)，a為素數(shù)求出z和a的值，進而求出b和c的值，最后判斷a，b，c能否構成三角形的邊長．

解答： 解：不能．
依題意，得a=

1

2

（y+z），b=

1

2

（x+z），c=

1

2

（x+y）．
因為y=z²，所以a=

1

2

（y+z）=

1

2

（z²+z）=

z(z+1)

2

．
又由于z為整數(shù)，a為素數(shù)，
所以z=2或-3，a=3．
當z=2時，y=z²=4，x=（

y

+2）²=16．
進而，b=9，c=10，與b，c是素數(shù)矛盾；
當z=-3時，a+b-c＜0，所以a，b，c不能構成三角形的三邊長．

點評：本題主要考查了質數(shù)與合數(shù)的知識，解答本題的關鍵根據(jù)a為素數(shù)求出z的值，進而求出a的值．