Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD＝4，AB＝2，PA⊥平面ABCD，E為BC上的動點(diǎn)．

(1)當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時，求證：PE⊥DE；

(2)設(shè)PA＝1，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)E，使得二面角P－ED－A的大小為．試確定點(diǎn)E的位置．

Answer 1

答案：
解析：

方法一：(2)證明：當(dāng)為中點(diǎn)時，，從而為等腰直角三角形，則，同理可得，∴，于是，　2分 　　又，且，∴，　4分 　　∴，又，∴．　6分 　　(也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理) 　　(2)如圖過作于，連，則， 　　∴為二面角的平面角．　8分 　　設(shè)，則． 　　 　　 　　于是　10分 　　，有 　　解之得． 　　點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處．　12分 　　方法二、向量方法．以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．　1分 　　(1)不妨設(shè)，則， 　　從而，　4分 　　于是， 　　所以所以　6分 　　(2)設(shè)，則， 　　則．　8分 　　易知向量為平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，則應(yīng)有 　　即解之得，令則，， 　　從而，　10分 　　依題意，即，解之得(舍去)， 　　所以點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處．　12分