Question

已知

OA

=(

3

，1)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），|

OB

|=1，且

OA

與

OB

的夾角為60°，A、O、B順時(shí)針排列，點(diǎn)E、F滿足

OE

=λ

OA

，

OF

=

1

λ

OB

，點(diǎn)G滿足

EG

=

1

2

EF

．
（1）當(dāng)λ變化時(shí)，求點(diǎn)G的軌跡方程；
（2）求|

OG

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)，和E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)G滿足

EG

=

1

2

EF

，所以G為EF的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，消去λ得到x和y的關(guān)系即為點(diǎn)G的軌跡方程．
（2）將|

OG

|表示為λ的函數(shù)，利用基本不等式求最值即可．

解答：解：（1）由

OA

=(

3

，1)可得OA和x軸正半軸的夾角為30°，又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|

OB

|=1，且

OA

與

OB

的夾角為60°，
 所以

OB

=(-

1

2

，

3

2

)，所以

OE

=λ

OA

=(

3λ

，λ)，

OF

=

1

λ

OB

=(-

1

2λ

，

3

2λ

)
由點(diǎn)G滿足

EG

=

1

2

EF

，所以G為EF的中點(diǎn)，所以G（

3λ - 1 2λ

2

，

λ+ 3 2λ

2

）
設(shè)G（x，y），則

x= 3λ - 1 2λ 2 y= λ+ 3 2λ 2

，消去λ得3y2-5x2+2

3

xy-2

3

=0
（2）|

OG

|=

( 3λ - 1 2λ 2 )2+( λ+ 3 2λ 2 )2

=λ2+

1

4λ2

≥1
當(dāng)且僅當(dāng)λ2=

1

4λ2

，即λ=±

2

2

時(shí)“=”成立．
故|

OG

|的最小值為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的模、參數(shù)法求軌跡方程、基本不等式求最值等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查運(yùn)算能力．