Question

已知函數(shù)f(x)=log5

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定義域．
（2）證明f（x）為奇函數(shù)．
（3）判斷f（x）的單調(diào)性并證明．
（4）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer 1

分析：（1）要使函數(shù)的解析式有意義，自變量x必須滿足使真數(shù)部分大于0，即

1+x

1-x

＞0，解分式不等式即可得到f（x）的定義域．
（2）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式f(x)=log5

1+x

1-x

，我們可以寫出f（-x）的表達(dá)式，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可得到結(jié)論；
（3）在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，我們判斷利用作差法判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，我們可將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式組-1＜x＜1-x＜1，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，即-1＜x＜1∴f(x)=log5

1+x

1-x

的定義域為（-1，1）（3分）
（2）f(x)=log5

1+x

1-x

∵的定義域為（-1，1），在（-1，1）上任取一個自變量x
則f(-x)=log5

1-x

1+x

=-log5

1+x

1-x

=-f(x)
∴f（x）為奇函數(shù)．（6分）
（3）在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂∴-1＜x₁＜x₂＜1（17分）f(x1)-f(x2)=log5

1+x1

1-x1

-log5

1+x2

1-x2

=log5(

1+x1

1+x2

.

1-x2

1-x1

)（9分）
又0＜1+x₁＜1+x₂&，0＜1-x₂＜1-x₁
∴0＜

1+x1

1+x2

＜1&，0＜

1-x2

1-x1

＜1，即0＜

1+x1

1+x2

.

1-x2

1-x1

＜1（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）為（-1，1）上的增函數(shù)（12分）
（4）∵f（x）為（-1，1）上的增函數(shù)∴-1＜x＜1-x＜1
解得0＜x＜

1

2

（14分）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，函數(shù)奇偶性的判斷及對數(shù)函數(shù)持定義域，其中結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)綜合分析問題是解答本題的關(guān)鍵，本題解答過程中易忽略真數(shù)大于0的限制，造成錯解．