Question

已知集合A={（x，y）|y≥|x-a|}，B={（x，y）|y≤-a|x|+2a}（a≥0）．
（1）證明A∩B≠∅；
（2）當0≤a≤4時，求由A∩B中點組成圖形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)（0，a）∈A，（0，2a）∈B，可得A∩B≠∅．
（2）分類討論：當2≤a≤4時，A∩B中點組成三角形，當0＜a＜2時，A∩B中點組成四邊形，求出相應的面積，利用導數(shù)求得面積的最大值，從而可得結論．

解答：（1）證明：顯然（0，a）∈A．
當x=0時，y≤-a|x|+2a=2a，
∴（0，2a）∈B．∴A∩B≠∅．
（2）解：如左上圖，當2≤a≤4時，A∩B中點組成如圖所示△EFD，
∴E（0，2a）、F（-

a

1+a

，

a2+2a

1+a

）、D（

a

a-1

，

a2-2a

a-1

）、G（0，a）．
∴S_△EFD=S_△EFG+S_△FGD=

1

2

a•

a

1+a

+

1

2

a•

a

a-1

=

a3

a2-1

．
當0＜a＜2時，A∩B中點組成如右上圖所示四邊形EFGH．
∴E（0，2a）、F（-

a

1+a

，

a2+2a

1+a

）、G（a，0）、H（

3a

1+a

，

-a2+2a

1+a

）、D（-2，0）、Q（2，0），
∴S_{四邊形EFGH}=S_△DEQ-S_△DFG-S_△GHQ=

1

2

×4×2a-

1

2

（a+2）•

a2+2a

1+a

-

1

2

 （2-a）•

-a2+2a

1+a

=

4a2-a3

1+a

．
當a=0時，A∩B={（0，0）}，顯然適合上式，
∴S=

4a2-a3 1+a ，0≤a＜2 a3 a2-1 ，2≤a≤4

當0≤a＜2時，S=

4a2-a3

1+a

，∴S′=

2a(4-a2)+a2

(1+a)2

＞0
∴S=

4a2-a3

1+a

在[0，2）上是增函數(shù)．∴0≤S＜

8

3

．
當a≥2時，S=

a3

a2-1

，∴S′=

a2(a2-3)

(a2-1)2

＞0，
∴S=

a3

a2-1

在[2，4]上是增函數(shù)，∴

8

3

≤S≤

64

15

．
綜上所述，當a=4時，A∩B中點組成圖形面積取得最大值

64

15

．

點評：本題考查A∩B中點組成圖形面積的計算，考查利用導數(shù)求最大值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．