Question

（2012•廣東模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，正數(shù)數(shù)列{b_n}中b₂=e，（e為自然對數(shù)的底≈2.718）且?n∈N^*總有2^n-1是S_n與a_n的等差中項，

bn+1

是bn與bn+1的等比中項．
（1）求證：?n∈N^*有an＜an+1＜2n；
（2）求證：?n∈N^*有

3

2

(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1．

Answer 1

分析：（1）先由條件求出a₁=1，進而求出 a_n+1=

1

3

•2n+1+

1

3

•

1

2n

，可得a_n=

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

，根據(jù)a_n+1-2ⁿ ＜0，以及a_n+1-a_n ＞0，可得結(jié)論an＜an+1＜2n成立．
（2）先由（1）求出b₁=

-1+ 1+4e

2

，再證明a_n ≤2^n-1-1，3a_n -1＞2ⁿ-1．要證不等式成立，只要證 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1 即可．先證當n=1時，
不等式成立，當n≥2時，用放縮法證明 lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥

3

2

(an-1)．再用放縮法證明∴l(xiāng)nb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1＜3a_n -1，
從而證得要證的不等式成立．

解答：解：（1）證明：∵2^n-1是S_n與a_n的等差中項，∴2ⁿ=S_n +a_n，∴S_n=2ⁿ-a_n，∴a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1．
由S_n=2ⁿ-a_n，可得 s_n+1=2ⁿ⁺¹-a_n+1，想減可得 a_n+1=s_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-a_n+1+a_n．
化簡可得 2a_n+1=2ⁿ+a_n．
變形可得 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n =4ⁿ，故數(shù)列{ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n }構(gòu)成等比數(shù)列，
故它的前n項和為 （ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n ）+（2ⁿa_n-2^n-1a_n-1）+…+（2²a₂-2a₁）=4ⁿ+4^n-1+…+4=

4

3

(4n-1)，
即 a_n+1=

1

3

•2n+1+

1

3

•

1

2n

，故 a_n=

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

．
∴a_n+1-2ⁿ=

1

3

（

1

2n

-2n）＜0，a_n+1-a_n=（

1

3

•2n+1-

1

3

•

1

2n+1

）-（

1

3

•2n-

1

3

•

1

2n

）=

1

6

（2ⁿ⁺¹-

1

2n-1

）＞0，
∴an＜an+1＜2n成立．
（2）證明：由（1）得

bn+1

是bn與bn+1的等比中項，∴b_n+1=b_n （b_n+1）．再由b₂=e，b_n＞0，∴b₁=

-1+ 1+4e

2

．
∵a_n=

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

，

3

2

(an-1)=2^n-1-

1

2n

-

3

2

≤2^n-1-1，
3a_n -1=3（

1

3

•2n+

1

3

•

1

2n-1

）-1=2n+

1

2n-1

-1＞2ⁿ-1．
要證

3

2

(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1，只要證 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1即可．
∵

bn+1

是bn與bn+1的等比中項，等價于 bn+1=

b

2 n

+bn．
∵4e＞8，∴b₁＞

-1+ 9

2

=1，b₁+1=

e

b1

＜e．
∴l(xiāng)nb₁＞ln1=0=2^1-1-1，lnb₁＜ln（b₁+1）＜1=2¹-1，故當n=1時，所證的不等式成立．
當n≥2時，bn+1=

b

2 n

+bn＞

b

2 n

，∴l(xiāng)nb_n+1＞2lnb_n．
∴l(xiāng)nb_n＞2lnb_n-1＞…＞2^n-2lnb₂=2^n-2．
∴l(xiāng)nb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥

3

2

(an-1)．
再由 ln（b_n+1+1）=ln（

b

2 n

+bn+1）＜ln（

b

2 n

+bn+1+b_n）=ln(bn+1)2=2ln(bn+1)  可得
 ln（b_n+1）＜2ln（b_n-1+1）＜2²ln（b_n-2+1）＜…＜2^n-1 ln（b₁+1）＜2^n-1．
∴l(xiāng)nb₁+lnb₂+…+lnb_n＜ln（b₁+1）+ln（b₂+1）+…+ln（b_n+1）＜1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1＜3a_n -1．
綜上所述，總有

3

2

(an-1)＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜3an-1成立．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，用放縮法證明不等式，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．