Question

設(shè)拋物線y²＝4ax(a＞0)的焦點(diǎn)為A，以B(a＋4，0)點(diǎn)為圓心，|BA|為半徑，在x軸上方畫半圓，設(shè)拋物線與半圓相交于不同兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)．

(1)求|AM|＋|AN|的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差數(shù)列？若存在，求出a；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　設(shè)M、N、P在拋物線的準(zhǔn)線上射影分別為、、， 　　則由拋物線定義得， 　　|AM|＋|AN|＝||＋||＝xM＋xN＋2a． 　　又圓的方程為[x－(a＋4)]2＋y2＝16， 　　將y2＝4ax代入得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0， 　　∴xM＋xN＝2(4－a)，所以|AM|＋|AN|＝8． 　　(2)假設(shè)存在這樣的a，使得2|AP|＝|AM|＋|AN|． 　　∵|AM|＋|AN|＝||＋||＝2||， 　　∴|AP|＝||． 　　由定義知點(diǎn)P必在拋物線上，這與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾，所以這樣的a不存在． 　　評析　　涉及焦點(diǎn)弦的問題，用定義將其轉(zhuǎn)化為到定直線的距離，或許能取得意想不到的效果．