Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且

PM

=

1

3

PC

，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

分析：（1）證明AD⊥平面PQB，再證明平面PQB⊥平面PAD即可；
（2）建立空間直角坐標系，求出M的坐標，進而可求平面MQB、平面CQB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴AD⊥PQ
又∵∠BAD=60°，底面ABCD為菱形，Q為AD的中點，∴AD⊥BQ
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：以Q為空間坐標原點，直線DA為x軸，直線QB為y軸，直線QP為z軸建立空間直角坐標系，
則B(0，

3

，0)，C(-2，

3

，0)，P(0，0，

3

)；

PC

=(-2，

3

，-

3

)
∵

PM

=

1

3

PC

，∴M(-

2

3

，

3

3

，

2

3

3

)
在平面MQB中，

QM

=(-

2

3

，

3

3

，

2

3

3

)，

QB

=(0，

3

，0)，
設(shè)平面MQB的法向量為

n1

=（x，y，z），則

- 2 3 x+ 3 3 y+ 2 3 3 z=0 3 y=0

∴平面MQB的法向量為

n

1=(

3

，0，-1)
而平面CQB的法向量

n

2=(0，0，1)，
設(shè)二面角M-BQ-C的夾角是θ，∴cos(π-θ)=

n1 n2

| n1 || n2 |

=-

1

2

，∴θ=60°．

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．