設(shè)平面上向量
a
=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),
b
=(-
1
2
,
3
2
).
(1)試證:向量
a
+
b
a
-
b
垂直;
(2)當(dāng)兩個(gè)向量
3
a
+
b
a
-
3
b
的模相等時(shí),求角α.
分析:(1)利用向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量
a
+
b
a
-
b
的坐標(biāo),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)可得向量
a
+
b
a
-
b
的數(shù)量積為0,則結(jié)論得證;
(2)利用向量的數(shù)乘運(yùn)算和加減法運(yùn)算求出向量
3
a
+
b
a
-
3
b
的坐標(biāo),由模相等得到模的平方向等,轉(zhuǎn)化為向量的平方相等后展開(kāi)整理,由三角函數(shù)的值及角的范圍可得答案.
解答:(1)證明:因?yàn)?span id="jupzybz" class="MathJye">
a
=(cosα,sinα),
b
=(-
1
2
,
3
2
),
所以
a
+
b
=(cosα-
1
2
,sinα+
3
2
)
,
a
-
b
=(cosα+
1
2
,sinα-
3
2
)

(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
=(cosα-
1
2
,sinα+
3
2
)
(cosα+
1
2
,sinα-
3
2
)

=(cosα-
1
2
)(cosα+
1
2
)+(sinα+
3
2
)(sinα-
3
2
)

=cos2α-
1
4
+sin2α-
3
4
=0

所以向量
a
+
b
a
-
b
垂直;
(2)解:由|
a
|=1,|
b
|=1
,且|
3
a
+
b
|=|
a
-
3
b
|
,平方得(
3
a
+
b
)2=(
a
-
3
b
)2
,
整理得2
a
2
-2
b
2
+4
3
a
b
=0
,即
a
b
=0

所以
a
b
=(cosα,sinα)•(-
1
2
,
3
2
)=-
1
2
cosα+
3
2
sinα=0
,
即cos(60°+α)=0,或tanα=
3
3

因?yàn)?°≤α<360°,所以α=30°或α=210°.
點(diǎn)評(píng):本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了三角函數(shù)的已知三角函數(shù)值求角的方法,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.
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點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng),速度向量
v
=(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同,且每秒移動(dòng)的距離為|
v
|個(gè)單位.設(shè)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A、(-2,4)
B、(-30,25)
C、(10,-5)
D、(5,-10)

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a
b
,|
a
|=|
b
|
(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
)
的充要條件;命題q:M為平面上一動(dòng)點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是存在角α,使
MA
=sin2α
MB
+
cos2α
MC
,則( 。

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[  ]

A.

B.

C.

D.

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[  ]

A.arccos

B.arccos

C.π-arccos

D.π-arccos

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