Question

5．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinωxcosωx-2{cos^2}ωx+1（ω＞0）$，且y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰公共點之間的距離為π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上所有點向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若g（B）-2=0，且向量$\overrightarrow m=（cosA，cosB）$，$\overrightarrow n=（1，sinA-cosAtanB）$，求$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，通過函數(shù)的周期求解即可．
（2）通過函數(shù)的平移變換求出函數(shù)的解析式，利用向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的解析式，然后求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sin2ωx-1-cos2ωx+1$=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，
∵y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰公共點之間的距離為π，∴T=π，∴ω=1，
∴函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]$（k∈Z）．
（2）由題意得$g（x）=2sin[{2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}}]=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴$g（B）=2sin（2B+\frac{π}{6}）=2$，又0＜B＜π，∴$2B+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，∴$B=\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow m=（cosA，cosB）=（cosA，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow n=（1，sinA-cosAtanB）=（1，sinA-\frac{{\sqrt{3}}}{3}cosA）$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n=cosA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA=sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$0＜A＜\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜π$，∴$0＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的取值范圍為（0，1]．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的周期的求法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力．