Question

18．設x，y，z∈R⁺，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，則a，b，c三數(shù)（　�。�

• A． 至少有一個不大于2
• B． 都小于2
• C． 至少有一個不小于2
• D． 都大于2

Answer 1

分析 由x，y，z∈R⁺，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，則a，b，c三數(shù)至少有一個不小于2．利用反證法與基本不等式即可證明結論．

解答 解：由x，y，z∈R⁺，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，則a，b，c三數(shù)至少有一個不小于2．
下面利用反證法證明：假設a，b，c三數(shù)都小于2．
則6＞a+b+c=x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2$\sqrt{y•\frac{1}{y}}$+2$\sqrt{z•\frac{1}{z}}$=6，即6＞6，矛盾．
因此原結論正確．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、反證法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．