Question

已知函數(shù)f（x）=loga

x+1

x-1

(a＞0，a≠1)
（1）求f（x）的定義域，判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）對(duì)于x∈[2，4]，f（x）＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出定義域，根據(jù)f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）要分兩種情況，進(jìn)行討論a＞1或a＜1，然后再利用導(dǎo)數(shù)求最值，將問題轉(zhuǎn)化為求最值問題；

解答：解：（1）∵

x+1

x-1

＞0，
∴x＜-1或x＞1
∴定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）…（2分）
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，f（-x）=loga

-x-1

-x-1

，
log2

x-1

x+1

=-log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．            …（6分）
（2）由x∈[2，4]時(shí)，f（x）＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①當(dāng)a＞1時(shí)，

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0，
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x）=-x³+7x²+x-7
∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3（x-

7

3

）²+

52

3

，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（2）=15，
∴0＜m＜15 …（10分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈[2，4]，

x+1

x-1

＜

m

(x+1)2(7-x)

，
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x），
g（x）=（x+1）（x-1）（7-x）=-x³+7x²+x-7，

∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3（x-

7

3

）²+

52

3

由①知，g（x）在[2，4]上為增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45
∴m的取值范圍是（0，15）∪（45，+∞）；         …（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的恒成立問題，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)最值的工具，是一道中檔題，這類題是高考的熱點(diǎn)問題；