如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD, ，,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O點(diǎn).

(I)求證：平面PBD丄平面PAC.

(II)當(dāng)點(diǎn)A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是ΔPBD的重心時(shí)，求二面角B-PD-A的余弦值.

 

 

【答案】

（Ⅰ）見解析；(II) .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用條件證明，，即可證平面平面；(II) 過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間坐標(biāo)系，得各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用，先求出的值，再分別求面和面的法向量，從而可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）依題意，，，所以，  2分

而面，，又，∴面，又面，

∴平面平面.    4分

（Ⅱ）

過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則 ，，,設(shè)，所以， ，

由，得

解得，.      6分

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為；

面的一個(gè)法向量為，     8分

設(shè)面的一個(gè)法向量為，，

即，∴ ，       10分

 ，

所以二面角的余弦值為．     12分

考點(diǎn)：1、面面垂直的判定定理；2、利用空間向量求二面角.

 

練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
2
，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G，點(diǎn)E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點(diǎn)
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
（1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
（2）求A到面PCD的距離．

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