拋物線的頂點在原點,焦點在射線x-y+1=0(x≥0)上
(1)求拋物線的標準方程
(2)過(1)中拋物線的焦點F作動弦AB,過A、B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為M,求點M的軌跡方程,并求出
FC
FD
FM
2
的值.
分析:(1)先射線x-y+1=0(x≥0)與坐標軸的交點解得焦點坐標,根據(jù)拋物線的焦點坐標,求出拋物線的標準方程.
(2)設(shè)AB的直線方程y=kx+1,將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量數(shù)量積的坐標運算公式即可求出
FC
FD
FM
2
的值,從而解決問題.
解答:解:(1)∵是標準方程,∴其焦點應該在坐標軸上,
∴令x=0,代入射線x-y+1=0,解得其焦點坐標為(0,1)
當焦點為(0,1)時,可知P=2,∴其方程為x2=4y.
(2)設(shè)A(x1
x
2
1
4
)
,B(x2,
x2
4
2
)

過拋物線A,B兩點的切線方程分別是y=
x1
2
x-
1
4
x12
,y=
x2
2
x-
x2
4
2

其交點坐標M(
x1+x2
2
y1+y2
2
)

設(shè)AB的直線方程y=kx+1代入x2=4y,得x2-4kx-4=0
x1x2=-4,M(
x1+x2
2
,-1),所以點M的軌跡為y=-1

FC
=(x1,
x
2
1
4
-1),
FD
=(x2,
x
2
2
4
-1)

FC
FD
=x1x2+(
x
2
1
4
-1)(
x
2
2
4
-1)=-
1
4
(
x
2
1
+
x
2
2
)-2

FM2
=(
x1+x2
2
-0)2+(-1-1)2=
1
4
(
x
2
1
+
x
2
2
)+2

FC
FD
FM
2
=-1
點評:本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算、拋物線的標準方程.拋物線的標準方程的焦點一定在坐標軸上且定點一定在原點,即先確定焦點的坐標再求出標準方程.
練習冊系列答案
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13、拋物線的頂點在原點,對稱軸是坐標軸,且焦點在直線x-y+4=0上,則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y

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A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

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(2012•江蘇一模)本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解、推理論證的能力.
如圖,在平面直角坐標系xOy,拋物線的頂點在原點,焦點為F(1,0).過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B,作拋物線的切線AC、BD,與x軸分別交于C、D兩點,且AC與BD交于點M,直線AD與直線BC交于點N.
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(2)求證:MN⊥x軸;
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y2=-8x或x2=8y
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精英家教網(wǎng)實軸長為4
3
的橢圓的中心在原點,其焦點F1,,F(xiàn)2在x軸上.拋物線的頂點在原點O,對稱軸為y軸,兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點A,且AF1⊥AF2,△AF1F2的面積為3.
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AC
=2
AB
,求直線l的斜率k.

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