Question

設(shè)x，y滿足約束條件

x≥0 y≥0 x 3a + y 4a ≤1

，若目標(biāo)函數(shù)z=

y+3

x

的最小值為1，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=

y+3

x

，再利用z的幾何意義求最值，z=

y+3

x

表示的是區(qū)域內(nèi)的點與點P連線的斜率．故 z的最值問題即為直線的斜率的最小值．只需求出直線PQ過可行域內(nèi)的點A時，從而得到z的最大值列出等式求出a即可．

解答：解：作出可行域如圖陰影部分所示：
目標(biāo)函數(shù)z=

y+3

x

可以認(rèn)為是點（0，-3）與可行域內(nèi)一點（x，y）連線PQ的斜率．
因此z=

y+3

x

的最小值為直線OA的斜率，
而B（3a，0），∴k_PA=1?a=1．
∴a的值為1．
故答案為：1．

點評：巧妙識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．