Question

已知向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=•-2．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并求取得最大值時x的值；
（2）在A為銳角的△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面積為3，，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出•，代入f（x）的解析式中，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系將其中的2變?yōu)?（sin²x+cos²x），去括號合并后，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得出函數(shù)的最大值，并根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時x的值；
（2）由f（A）=4，將x=A，f（x）=4代入第一問化簡后的f（x）的解析式中，變形后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入，求出bc的值，然后利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將cosA的值代入后利用完全平方公式變形，將bc及b+c的值代入，即可求出a的值．
解答：解：（1）∵向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），
∴f（x）=•-2=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）-2
=6sin²x+sinxcosx+7sinxcosx-2cos²x-2
=6sin²x-2cos²x-2（sin²x+cos²x）+8sinxcosx
=4（sin²x-cos²x）+4sin2x
=4sin2x-4cos2x
=4sin（2x-），
∵sin（2x-）∈[-1，1]，
∴當(dāng)2x-=2kπ+，即x=kπ+時，正弦函數(shù)sin（2x-）取得最大值，且最大值為1，
則f（x）的最大值為4，此時x=kπ+；
（2）由f（A）=4，得到4sin（2A-）=4，即sin（2A-）=，
又A為三角形的內(nèi)角，∴2A-=或2A-=，
解得：A=或A=（由A為銳角，故舍去），
∴A=，
又三角形的面積為3，
∴S=bcsinA=3，即bc=6，又b+c=2+3，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-2bc-bc
=（2+3）²-12-12=10，
則a=．
點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角形的面積公式，余弦定理，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．