Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=x²，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）均在函數(shù)y=f（x）上的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$前n項和為T_n，問滿足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整數(shù)n是多少？．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得${S_n}={n^2}$，然后再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中所求的通項公式代入數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$，利用裂項相消法求其和，再代入${T_n}＞\frac{100}{209}$求最小正整數(shù)n．

解答 解：（Ⅰ）∵點（n，S_n）均在函數(shù)y=f（x）上的圖象上，∴${S_n}={n^2}$，
當(dāng)n=1時，a₁=1，
當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，
經(jīng)檢驗當(dāng)n=1時，也滿足a_n=2n-1，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{n}{2n+1}$，
由${T_n}=\frac{n}{2n+1}＞\frac{100}{209}$，得$n＞\frac{100}{9}$，
∴滿足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整數(shù)為12．

點評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．