已知函數(shù)f（x）=
lnx
x
．
（1）求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（2）若方程f（x）-t=0在[
1
e
，e2]上有兩個(gè)不同的解，求t的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，將x=1代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線的斜率（導(dǎo)函數(shù)值），進(jìn)而求出切線方程；
（2）方程f（x）-t=0在[
1
e
，e2]上有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)y=f（x），y=t在[
1
e
，e2]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，分析出函數(shù)的極大值，及區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的值，可得 t的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=
lnx
x

∴f（1）=0
又∵f′（x）=
1-lnx
x2

∴f′（1）=1
∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，即x-y-1=0
（2）方程f（x）-t=0在[
1
e
，e2]上有兩個(gè)不同的解，
則函數(shù)y=f（x），y=t在[
1
e
，e2]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
由f′（x）=
1-lnx
x2
＞0得0＜x＜e
由f′（x）=
1-lnx
x2
＜0得x＞e
∴當(dāng)x=e時(shí)，y=f（x）有極大值f（e）=
1
e
，
又∵f（
1
e
）=-e，f（e2）=
2
e2
，且
2
e2
＞-e，
∴t的取值范圍是[
2
e2
，
1
e
）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用，難度中檔．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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