Question

如圖，在四棱錐A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn).

（1）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，求證：SA∥平面BDE；

（2）求證：平面BDE⊥平面SAC；

（3）當(dāng)二面角E-BD-C的大小為45°時(shí)，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連接，由條件可得∥.

 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image003.png">平面，平面，

  所以∥平面.      

（Ⅱ）法一：證明：由已知可得，,是中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image010.png">是正方形，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image012.png">，所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image014.png">，所以平面平面.   -

（Ⅱ）法二：證明：由（Ⅰ）知，.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)四棱錐的底面邊長為2，

則，，，

，，.

所以，.

設(shè)（），由已知可求得.

所以，.

設(shè)平面法向量為，

則 即  

令，得. 

易知是平面的法向量.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image038.png">，

所以，所以平面平面.          -------------------（8分）

（Ⅲ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419072060934953/SYS201205241910162500299313_DA.files/image040.png">，

所以是平面的一個(gè)法向量.

由已知二面角的大小為.

所以，

所以，解得.

所以點(diǎn)是的中點(diǎn).                        

【解析】略